循環小数のひみつ

小数のわり算のまとめとして割り切れずに答えがいつまでも続く循環小数について取り上げ、数の不思議さに触れた。１，２，３……７，８，９数を提示して、

|１÷○のように、１から９の式を当てはめ、割り切れる数字と割り切れない数字に分けてみよう。|

〈割り切れる数字〉１，２，４，５，８
１÷１＝１　　１÷２＝０.５　　１÷４＝０.２５
１÷５＝０.２　　１÷８＝０.１２５

〈割り切れない数字〉３，６，７，９
１÷３＝０.３３３…　１÷６＝０.１６６…
１÷７＝０.１４２８５７…　１÷９＝０.１１１…

わり算には、割り切れない場合があることを確かめてから、

|２÷１１　１÷３７を計算してみよう。何か気がつくことがありますか？|

それぞれの答えは
２÷１１＝０.１８１８１８…
１÷３７＝０.０２７０２７…

• ２÷１１は１８の繰り返しで、１÷３７は０２７の繰り返しになっている。

「割り切れる数字のことを有限小数というのだけれど、割り切れない数字ことは何と呼ぶでしょう？」と尋ねると「繰り返し小数」という返事があった。「そう意味はその通りです。算数の言葉で「循環小数」と用語を教えた。

|１÷７は、同じ数字が繰り返されている循環小数になっているでしょうか。|

• １÷７＝０.１４２８５７…

と一見バラバラなように見える。電卓も桁数の関係で、０.１４２８５７１４までしか表示されていない。「えー…」という声が出たときに、ある子が「ぼくずっとやってみた。繰り返しだった」と教えてくれた。手計算でノートにやっていたのである。「おーっ」と思わず起きる拍手。

そう「７」も一見バラバラのように見えるのであるが、０.１４２８５７を繰り返している。わり算の場合、商は必ず有限小数か循環小数のどちらかになり、円周率のようにランダムな数字が無限に続くことは無いこと教えた。

|○÷７で、○が２，３，４…と数字が変わるときに、答えに何かきまりがあるでしょうか？|

子どもたちは夢中になって、電卓のキーを押し、答えを出していった。よく見てみると、すべて同じ数字だけでできていることがわかる。まさしく同じところをクルクル回っている。

２÷７＝０.２８５７１４　２８５７１４…

３÷７＝０.４２８５７１　４２８５７１…

４÷７＝０.５７１４２８　５７１４２８…

５÷７＝０.７１４２８５　７１４２８５…

６÷７＝０.８５７１４２　８５７１４２…

|ほかにもこうした循環小数に、なるわり算があるでしょうか。適当な数字を入れて循環小数を見つけましょう。|

子どもたちはこんな数を見つけた。
１÷１１＝０.０９０９０９…　　１÷１２＝０.０８３３…
１÷３３＝…０.０３０３０
１÷５５＝０.０１８１８１８…　わる数が同じだと循環小数になる

授業の感想

• 今日算数で電卓を使ってやった。算数で電卓を使うのは初めてです。楽しかったです。
• 繰り返す計算は聞いたことがないから、初めてやっておもしろかった。
• 秘密を明かすのは大変だったけれどか調べるのおもしろかった。少数は奥が深いことが分かった。これからも秘密を解きたいです。
• すごかったし、あり得ないと思った。１÷○でないといけないのかな。また一つ知識が芽生えた。
• 循環小数のことがよくわかった。循環小数は必ずつながって交代交代になっていることも分かった。電卓で見つけた時、すごくいっぱいあっておもしろかった。
• ○÷７のわり算は、同じ数字が何度も出てきてびっくりした。○÷７の他にも、循環小数が出てきたので、他の数字でも探してみたいです。